一題可破萬題山,多解歸一(中篇)

試題呈現

如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:AE=EF

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【一題多解】一道經典例題題的深入解構與多向拓展

我們可以從以下七個角度去思考解法。

思考角度一

截長補短

如上圖,在AB上截取點H使BH=BE,并連接HE。

后面我們可以證△BHE為等腰直角三角形,然后導角證△AHE全等于△EFC,這樣就可以得到AE=EF

點評:此題容易想到過點F向BC作垂線,證兩個直角三角形全等,但是會發現不好證全等。此時,改變思路,證兩個小鈍角三角形全等,此路順暢好解。

思考角度二

構造三垂直模型

仔細想想,證兩個直角三角形全等真的不可以嗎?

直接證明主要是得不到邊相等,但是它們應該是存在邊等的,例如FH=BE或者AB=EH,這樣是不是可以?如果要證明,此時需要借用方程的方法解決。

如圖,我們設BE=a, FH=b,利用直角△ABE,△EFH,△AIF,可表示△AEF三邊長度的平方,然后再利用△AEF也為直角三角形就可以建立如下方程:

解此方程可得a=b,這樣后面就能證明全等了。有誤:(b-a)^2改成(2a-b)^2

思考角度三

旋轉

此題還可以考慮將圖形進行旋轉,通過旋轉構造新的圖形,然后由新圖形來證得線段相等。

旋轉法一:將△ABE繞點B順時針旋轉90度:

如圖,可以得到等腰直角三角形BME,然后證四邊形MEFC為平行四邊形即可。

旋轉法二:將△EFC繞點E逆時針旋轉:

其實,除了以上旋轉方法,還有以下旋轉方法,讀者可自行嘗試證明。

旋轉法三:將△EFC繞點C逆時針旋轉:

旋轉法四:將△EFC繞點E順時針旋轉:(圖形難看,所以省掉)

旋轉法五:將△EFC繞點C順時針旋轉:

旋轉法六:將△ABE繞點B逆時針旋轉:

旋轉法七:將△ABE繞點A逆時針旋轉:

旋轉法八:將△ABE繞點A順時針旋轉

思考角度四

折疊

如上圖,將△ABE折疊下來可以,可以由等腰直角三角形A’BC推得△A’EF為等腰三角形。

如上圖,將△ECF折疊下來,可以推得△AEF’為等腰三角形。

思考角度五

坐標系

對于初二下冊學生而言,已經開始接觸一次函數了,這里也是可以使用一次函數來證明。

以點B為坐標原點,建立平面直角坐標系。

如圖,可以設BE長為a個單位長度,F點縱坐標為b,后面就可以利用AE⊥EF,得到a=b,最后利用勾股定理可以求解AE和EF的長度。(特注:兩直線垂直,比例系數乘積為-1)

點評:此方法,雖然較為麻煩,但是不失為解決此類問題的一種通性通法。

此題若站在更高視角,例如九年級角度來看,還能得到以下解法:

思考角度六

共圓

由∠AEF=∠ACF=90°可以得到四點A、E、C、F共圓(圓周角定理),然后可推∠ACB=∠AFE=45°,這樣就得到了等腰直角三角形AEF

思考角度七

相似

此題若知道相似,在思考角度二中可以不列方程得到全等。

多解歸一:要證明邊等的方法可以構造全等、平行四邊形、等腰直角三角形或者列方程求解,構造的方法有截取法、運動變換法、共圓法等??偠灾?,靈活構造是解決此類問題之本。

此題不僅可以存在一題多解,還有一題多變,并且變化更加精彩。

變式角度一

特殊點變一般點

1-1如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:AE=EF.

變式角度二

動點運動到延長線上

2-1如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的延長線上一點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:AE=EF.

2-2如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊CB的延長線上一點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:AE=EF.

變式角度三

條件和結論互換

3-1如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,AE=EF,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:∠AEF=90°.

3-2如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,AE=EF,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:∠AEF=90°.

3-3 如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,∠AEF=90°,AE=EF,求證:CF是正方形外角的平分線.

變式角度四

半角模型

4-1 如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,∠AEF=90°,AF與邊CD交于點H,求證:BE+DH=HE

變式角度五

正方形背景變矩形背景

5-1如圖,四邊形ABCD是矩形,其中2AB=BC,點E是邊BC的一點,∠AEF=90°,∠ACF=90°,求證:EF=2AE

變式角度六

正方形背景變正三角形背景

6-1如圖,三角形ABC是等邊三角形,點E是邊BC一點,∠CEF=60°,且EF交等邊三角形ABC外角的平分線BF于點F,求證:CE=BF.

變式角度七

在等邊三角形基礎上再變化

7-1 如圖,等邊三角形ABC中,點D為AC中點,AD=CE,求證:BD=DE

7-2 如圖,等邊三角形ABC中,點D為AC上一點,AD=CE,求證:BD=DE

變式角度八

等邊三角形變為等腰直角三角形

源自河南-楊峰老師

8-1如圖,在等腰直角三角形ABC中,已知∠BAC=90°,點D為邊AC上一點,

求證:BD=DE

此題若再進行延長變化、因果變化、三角形變化,恐還會出來更多好題,歡迎補充!

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